A bögre nevét feltalálójáról, Karl Max német vegyészről kapta. Karl Max 1908-ban tervezett egy duplafalú, fedővel és fogantyús üvegtermoszt, kifejezetten szabadtéri tevékenységekhez és forró italok fogyasztásához. Ez a bögre nemcsak melegen tartotta a forró italokat, hanem meggátolta az égési sérüléseket is, így ideális szabadtéri tevékenységekhez és utazásokhoz. Kiváló kialakítása és funkciója miatt feltalálója tiszteletére "Max bögrének" kezdték nevezni.
Idővel a Max bögre világszerte népszerűvé vált, és a mindennapi élet gyakori ivótartályává vált. Az emberek elkezdték használni forró italok, például tej, kávé és tea tárolására, sőt munka közben vagy szünetekben levest inni. A Max Mug népszerűsége a bögre dizájn diverzifikációját is ösztönözte, aminek eredményeként különböző formák, színek és anyagok készültek, hogy megfeleljenek a különböző csoportok igényeinek.
A „Max Mug” név azonban elterjedése során fokozatosan „bögré”-vé egyszerűsödött, ami valószínűleg az egyszerűsödött nyelvi szokások és kiejtés miatt alakult ki. A névváltoztatás ellenére a bögre funkciója és dizájnkoncepciója változatlan marad; továbbra is nélkülözhetetlen italtartó marad az emberek mindennapi életében.
